Figure 65: Alfred Tarski: Definition of "model" (1935/36)

 

bibliography

Robert Lawson Vaught: Tarski's Work in Model Theory. Journal of Symbolic Logic 51.4, Dec. 1986, 869–882.

Peter Milne: Tarski, Truth and Model Theory. Proceedings of the Aristotelian Society, n. s., 99, 1999, 141–167.

T. Bays: On Tarski on Models. Journal of Symbolic Logic 66, 2001, 1701–1726.

P. Mancosu: Tarski on Models and Logical Consequence. In J. Ferreirós, J. J. Gray (eds.): The Architecture of Modern Mathematics. Oxford: Oxford University Press 2006, 209–237.

 

 

 

In: Logic, Semantics, Metamathematics. Papers from 1923 to 1938, 342-383.

Oxford: Clarendon Press 1956.

 

 

p. 343, footnote 1, to §1

 

In order to avoid misunderstandings it is important to note that I use the expressions ‚deductive theory' and ‚deductive system' in quite distinct senses.

By deductive theories I understand here the models (realizations) of the axiom system which is given in § 1.

Since in this system four primitive concepts appear, every quadruple of concepts which satisfies all the axioms of the system is its model.

In order not to depart too much from the usual meaning of the term ‚deductive theory', I have in mind only those models of the axiom system which are constituted by certain sets of expressions and operations on expressions. On the other hand, deductive systems (in the domain of a particular deductive theory) are certain special sets of expressions which I shall characterize precisely at the beginning of § 1 as well as in Def. 5 of § 2.

 

 

p. 349, footnote 2, to §2

As I have already mentioned in § 1, any system of axioms and rules of inference which suffices for the formal construction of the sentential calculus can be used as a model in formulating an axiom system for the domain in which we are interested in this paper.

If we compare this remark with the facts just discussed we reach the conviction that there exists a general method which enables us to obtain a system of postulates for the algebra of logic from every system of axioms and rules of inference for the sentential calculus.

 

 

Fundamenta Mathematicae 25, 1935, 503-526 (§§ 1-3), 26, 1936, 283-301 (§§ 4-5 and appendix).

 

 

pp. 504-505

1) Zur Vermeidung von Missverständnissen ist es wichtig anzumerken, dass ich die Ausdrucke „deduktive Theorie" und „deduktives System" im ganz verschiedener Bedeutung gebrauche.

Ich verstehe hier unter deduktiven Theorien die Modelle („Realisierungen“) des Axiomensystems, das im § 1 angegeben ist.

Da in diesem System vier Grundbegriffe auftreten, so ist jedes Quadrupel von Begriffen, die alle Axiome des Systems erfüllen, sein „Modell";

um nicht zu sehr von der üblichen Bedeutung des Terminus „deduktive Theorie" abzuweichen, habe ich im Sinne nur die so beschaffenen „Modelle" des Axiomensystems, in denen als Korrelate der Grundbegriffe gewisse Mengen von Ausdrücken sowie die Operationen mit den Ausdrücken auftreten. Hingegen sind deduktive Systeme (im Bereiche einer bestimmten deduktiven Theorie) gewisse spezielle Mengen von Ausdrücken, die ich genau am Anfang des § 1 sowie in der Def. 5 des § 2 charakterisieren werde.

 

p. 511

 

1) Wie ich schon in § 1 erwähnt habe, kann man bei der Formulierung eines Axiomensystems für den uns interessierenden Bereich der Untersuchungen ein beliebiges Grundlagensystem zum Vorbild nehmen, das zum formalen Aufbau des Aussagenkalküls ausreicht. Wenn wir diese Bemerkung mit den Tatsachen vergleichen, von denen vorher die Rede war, kommen wir zur Überzeugung, dass es eine allgemeine Methode gibt, die es erlaubt, aus jedem System von Axiomen und Schlussregeln für den Aussagenkalkül ein System von Postulaten für die Algebra der Logik zu gewinnen.

 

 

In: Logic, Semantics, Metamathematics. Papers from 1923 to 1938, 409-420.

Oxford: Clarendon Press 1956.

 

pp. 416-419

 

Among the fundamental concepts of semantics wo have the concept of the satisfaction of a sentential function by single objects or by a sequence of objects. It would be superfluous to give here a precise explanation of the content of this concept. The intuitive meaning of such phrases as:

John and Peter satisfy the condition ‚X and Y are brothers', or the triple of numbers 2, 3, and 5 satisfes the equation ‚x+y = z',

can give rise to no doubts.

 

The concept of: satisfaction - like other semantical concepts - must always be relativized to some particular language. The details of its precise definition depend on the structure of this language. Never theless, a general method can be developed which enables us to construct such definitions for a comprehensive class of formalized languages. Unfortunately, for technical reasons, it would be impossible to sketch this method here even in its general outlines.

 

One of the concepts which can be defined in terms of the concept of satisfaction is the concept of model. Let us assum that in the language we are considering certain variables correspond to every extra-logical constant, and in such a way that every sentence becomes a sentential function if the constants in it are replaced by the corresponding variables.

Let L be any class of sentences. Wo replace all extra-logical constants which occur in the sentences belonging to L by corresponding variables, like constants being replaced by like variables, and unlike by unlike. In this way wo obtain a class L' of sentential functions. An arbitrary sequence of objects which satisfies every sentential function of the class L' will be called a model or realization of the class L of sentences (in just this sense one usually speaks of models of an axiom system of a deductive theory). If, in particular, the class L consists of a single sentence X, wo shall also call the model of the class L the model of the sentence X.

 

In terms of these concepts wo can define the concept of logical consequence as follows:

The sentence X follows logically from the sentences of the class K if and only if every model of the class K is also a model of the sentence X.

 

It seems to me that everyone who understands the content of the above definition must admit that it agrees quite well with common usage. This becomes still clearer from its various consequences. In particular, it can be proved, on the basis of this definition, that every consequence of true sentences must be true, and also that the consequence relation which holds between given sentences is completely independent of the sense of the extra-logical constants which occur in these sentences.

In brief, it can be shown that the condition (F) formulated above is necessary if the sentence X is to follow from the sentences of the class K. On the other hand, this condition is in general not sufficient, since the concept of consequence here defined (in agreement with the standpoint wo have taken) is independent of the richness in concepts of the language being investigated.

 

Finally, it is not difficult to reconcile the proposed definition with that of Carnap. For we can agree to call a class of sentences contradictory if it possesses no model. Analogously, a class of sentences can be called analytical if every sequence of objecte is a model of it. Both of these concepts can be related not only to classes of sentences but also to single sentences.

Let us assume further that, in the language with which we are dealing, for every sentence X there exists a negation of this sentence, i. e. a sentence Y which has as a model those and only those sequences of objects which are not models of the sentence X (this assumption is rather essential for Carnap's construction). On the basis of all these conventions and assumptions it is easy to prove the equivalence of the two definitions. We can also show - just as does Carnap - that those and only those sentences are analytical which follow from every class of sentences (in particular from the empty class), and those and only those are contradictory from which every sentence follows (1).

 

I am not at all of the opinion that in the result of the above discussion the problem of a materially adequate definition of the concept of consequence has been completely solved. On the contrary, I still see several open questions, only one of which - perhaps the most important - I shall point out here.

 

Underlying our whole construction is the division of all terms of the language discussed into logical and extra-logical. This division is certainly not quite arbitrary. If, for example, we were to include among the extra-logical signs the implication sign, or the universal quantifier, then our definition of the concept of consequence would lead to results which obviously contradict ordinary usage. On the other hand, no objective grounds are known to me which permit us to draw a sharp boundary between the two groups of terms. It seems to be possible to include among logical terms some which are usually regarded by logicians as extra-logical without running into consequences which stand in sharp contrast to ordinary usage.

In the extreme case we could regard all terms of the language as logical. The concept of formal consequence would then coincide with that of material consequence. The sentence X would in this case follow from the class K of sentences if either X were true or at least one sentence of the class K were false.

 

(1) Cf. Carnap, R. (10), pp. 135 ff., especially Ths. 52.7 and 52.8; Carnap, R. (11), p. 182, Ths. 10 and 11.

Incidentally I should like to remark that the definition of the concept of consequence here proposed does not exceed the limits of syntax in Carnap's conception (cf. Carnap, R. (10), pp. 6 ff.).

Admittedly the general concept of satisfaction (or of model) does not belong to syntax ; but wo use only a special case of this concept - the satisfaction of sentential functions which contain no extra-logical constants, and this special case can be characterized using only general logical and specific syntactical concepts.

Between the general concept of satisfaction and the special case of this concept used here approximately the same relation holds as between the semantical concept of true sentence and the syntactical concept of analytical sentence.

 

R. Carnap, Logische Syntax der Sprache (Wien, 1934).

R. Carnap,’Ein Gültigkeitskriterium für die Sätze der klassischen Mathematik’, Mh. Math. Phys., xlii (1935), 163-90.

 

 

Actes du Conrès International de Philosophie Scienctifique, Sorbonne, Paris 1935. Vol. 7: Logique (Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 394). Paris: Hermann 1936, 1-11.

 

pp. 8-10

 

Zu den fundamentalen Begriffen der Semantik gehört der Begriff des Erfülltseins einer Aussagefunktion durch einzelne Gegenstände, bzw. durch eine Folge von Gegenständen. Es wäre überflüssig, den Inhalt dieses Begriffs hier näher zu klären; der inhaltliche Sinn solcher Redewendungen wie:

Johann und Peter erfüllen die Bedingung ‚X und Y sind Brüder’, das Trippel von Zahlen 2, 3 und 5 erfüllt die Gleichung ‚x + y = z’.

kann doch keinen Zweifel hervorrufen.

 

Der Begriff des Erfülltseins - so wie andere semantische Begriffe - muss immer in Bezug auf eine bestimmte Sprache relativiert werden; seine präzise Definition hängt in ihren Einzelheiten von dem Bau der betreffenden Sprache ab. Man kann jedoch eine allgemeine Methode angeben, die das Konstruieren solcher Definitionen für eine umfassende Kategorie formalisierter Sprachen ermöglicht; leider wäre es aus technischen Gründen unmöglich, die erwähnte Methode - es sei nur in grossen Zügen - hier zu skizzieren.

 

Einer der Begriffe, die sich mit Hilfe des Begriffs des Erfülltseins definieren lassen, ist der Begriff des Modells. Nehmen wir an, dass in der Sprache, die wir betrachten, jeder ausserlogischen Konstante gewisse Variablen entsprechen, und zwar in der Weise, dass eine beliebige Aussage in eine Aussagefunktion übergeht, falls darin Konstanten durch entsprechende Variablen ersetzt werden.

Es sei nun L eine beliebige Klasse von Aussagen. Wir ersetzen alle ausserlogischen Konstanten, die in den Aussagen der Klasse L auftreten, durch entsprechende Variablen, und zwar gleiche Konstanten durch gleiche Variablen, verschiedene durch verschiedene; dadurch gelangen wir zu einer Klasse L' von Aussagefunktionen. Eine beliebige Folge von Gegenständen, die jede Aussagefunktion der Klasse L' erfüllt, wollen wir als Modell oder Realisierung der Aussagenklasse L bezeichnen (in eben diesem Sinne wird üblicherweise vom Modell des Axiomensystems einer deduktiven Theorie gesprochen). Wenn insbesondere die Klasse L aus der einzigen Aussage X besteht, so werden wir das Modell der Klasse L auch Modell der Aussage X nennen.

 

Auf Grund dieser Begriffsbildung lässt sich der Begriff der logischen Folgerung folgendermassen definieren

Die Aussage X FOLGT LOGISCH aus den Aussagen der Klasse K dann und nur dann, wenn jedes Modell der Klasse K zugleich ein Modell der Aussage X ist.

 

Wie mir scheint, muss jemand, der den Inhalt der eben angeführten Definition begreift, gestehen, dass sie dem üblichen Sprachgebrauch recht gut angepasst ist; das erleuchtet noch in stärkerem Grade aus verschiedenen ihren Konsequenzen. So kann man insbesondere auf Grund dieser Definition beweisen, dass jede Folgerung aus lauter wahren Aussagen wahr sein muss; ferner, dass die Folgerungsbeziehung, die zwischen gewissen Aussagen besteht, von dem Sinne der in diesen Aussagen auftretenden ausserlogischen Konstanten völlig unabhängig ist;

mit einem Wort: man kann zeigen, dass die oben formulierte Bedingung (F) notwendig ist, damit die Aussage X aus der Aussagenklasse K logisch folgt. Dagegen ist diese Bedingung im allgemeinen nicht hinreichend, da der hier definierte Folgerungsbegriff - im Einklang mit dem vom uns eingenommenen Standpunkt - vom kleineren oder grösseren Bestand der untersuchten Sprache unabhängig ist.

 

Schliesslich ist es nicht schwer, die vorgeschlagene Definition mit der von Carnap in Einklang zu bringen. Denn wir können vereinbaren, eine Aussagenklasse kontradiktorisch zu nennen, wenn sie kein Modell besitzt; analog kann man eine Aussagenklasse als analytisch bezeichnen, wenn jede Folge von Gegenständen ihr Modell ist, wobei diese beiden Begriffe nicht nur auf Aussagenklassen, sondern auch auf einzelne Aussagen bezogen werden können.

Nehmen wir ferner an, dass in der Sprache, die unsere Betrachtungen betreffen, jeder Aussage X eine Negation dieser Aussage entspricht, d. i. eine solche Aussage Y, die als Modelle die und nur die Folgen von Gegenständen hat, die keine Modelle der Aussage X sind (diese Annahme ist für die Carnapsche Konstruktion ziemlich wesentlich). Auf Grund aller dieser Vereinbarungen und Voraussetzungen lässt sich die Äquivalenz beider Definitionen leicht nachweisen. Auch kann man zeigen, dass - ebenso wie bei Carnap - die und nur die Aussagen analytisch sind, die aus jeder Aussagenklasse (und insbesondere aus der leeren Klasse) logisch folgen, kontradiktorisch dagegen die und nur die Aussagen, aus denen jede Aussage folgt (1).

 

Ich bin gar nicht der Meinung, dass im Resultat der durchgeführten Überlegungen das Problem einer sachlich zutreffenden Definition des Folgerungsbegriffs ganz erledigt ist; im Gegenteil: ich sehe noch mehrere offene Fragen. Es soll hier nur auf eine dieser Fragen - vielleicht die wichtigste - hingewiesen werden.

 

Unserer ganzen Konstruktion liegt die Einteilung aller Termini der betrachteten Sprache in logische und ausserlogische zugrunde. Sicher ist diese Einteilung nicht ganz willkürlich: wenn wir z. B. zu den ausserlogischen Termini das Implikationszeichen oder das Allzeichen zählen wollten, so würde die angegebene Definition des Folgerungsbegriffs zu Konsequenzen führen, die dem üblichen Sprachgebrauch offenbar widersprechen. Andrerseits aber sind mir keine objektive Gründe bekannt, die eine scharfe Grenze zwischen beiden Gruppen von Termini zu ziehen gestatten ; es scheint möglich zu sein, zu den logischen auch solche Termini zu rechnen, die von den Logikern gewöhnlich als ausserlogisch betrachtet werden, ohne dabei auf Konsequenzen zu stossen, die mit dem üblichen Sprachgebrauch in starkem Kontrast stehen würden.

Im äusseren Fall könnte man alle Termini der Sprache als logische betrachten: der Begriff der formalen Folgerung würde sich dann mit dem der materialen decken - die Aussage X würde in diesem Falle aus der Aussagenklasse K schon dann folgen, wenn entweder X wahr oder mindestens eine Aussage der Klasse K falsch wäre.

 

(1) Vgl. C₁, s. 135 ff., insbesondere die Sätze 52.7 und 52.8; C₂, S. 182, die Sätze 10 und 11.

- Gelegentlich möchte ich bemerken, dass die hier vorgeschlagene Definition des Folgerungsbegriffs den Rahmen der Syntax in Carnaps Auffassung (vgl. z. B. C₁, S. 6 ff.) nicht überschreitet. Zwar lässt sich der allgemeine Begriff des Erfülltseins (bzw. des Modells) nicht in Rahmen der Syntax einfügen; wir brauchen jedoch nur einen Spezialfall dieses Begriffs - das Erfülltsein der Aussagefunktionen, die keine ausserlogischen Konstanten enthalten, und dieser Spezialfall kann bereits mit Hilfe der allgemein logischen und spezifisch syntaktischen Begriffen charakterisiert werden.

Zwischen dem allgemeinen Begriff des Erfülltseins und dem hier verwendeten Spezialfall dieses Begriffes besteht ungefähr dieselbe Beziehung wie zwischen dem semantischen Begriff der wahren Aussage und dem syntaktischen Begriff der analytischen Aussage.

 

R. Carnap, Logische Syntax der Sprache (Wien, 1934).

R. Carnap, ’Ein Gültigkeitskriterium für die Sätze der klassischen Mathematik’, Mh. Math. Phys., xlii (1935), 163-90.