Figure 62: Henri Poincaré on Maxwell, analogy and images (1905)

 

Henri Poincaré: La valeur de la science 1905, many ed. till Paris: Flammarion 1994.

 

Engl. Translation: The value of science. New York: Science Press 1905; Reprint New York: Dover 1958.

included in the omnibus:

The foundations of science: Science and hypothesis, The value of science, Science and method: New York and Garrison, N. Y.: The Science Press 1913, 1921; Lancaster, Pa.: Science Press 1946; Reprint Washington D. C.: University Press of America 1982;
under the title: The Value of Science. Essential Writings of Henri Poincaré. New York: Random House/ The Modern Library 2001.

 

 

The Value of Science, Part II: The Physical Science

Chapter V: Analysis and Physics

 

273-276

II

The physicist cannot ask of the analyst to reveal to him a new truth; the latter could at most only aid him to foresee it. It is a long time since one still dreamt of forestalling experiment, or of constructing the entire world on certain premature hypotheses. Since all those constructions in which one yet took a naïve delight it is an age, today only their ruins remain.

 

All laws are therefore deduced from experiment; but to enunciate them, a special language is needful; ordinary language is too poor, it is besides too vague, to express relations so delicate, so rich, and so precise.

 

This therefore is one reason why the physicist cannot do without mathematics; it furnishes him the only language he can speak. And a well-made language is no indifferent thing; not to go beyond physics, the unknown man who invented the word heat devoted many generations to error. Heat has been treated as a substance, simply because it was designated by a substantive, and it has been thought indestructible.

On the other hand, he who invented the word electricity had the unmerited good fortune to implicitly endow physics with a new law, that of the conservation of electricity, which, by a pure chance, has been found exact, at least until now.

 

Well, to continue the simile, the writers who embellish a language, who treat it as an object of art, make of it at the same time a more supple instrument, more apt for rendering shades of thought.

We understand, then, how the analyst, who pursues a purely esthetic aim, helps create, just by that, a language more fit to satisfy the physicist.

 

But this is not all: law springs from experiment, but not immediately. Experiment is individual, the law deduced from it is general; experiment is only approximate, the law is precise, or at least pretends to be. Experiment is made under conditions always complex, the enunciation of the law eliminates these complications. This is what is called "correcting the systematic errors."

In a word, to get the law from experiment, it is necessary to generalize; this is a necessity imposed upon the most circumspect observer. But how generalize? Every particular truth may evidently be extended in an infinity of ways. Among these thousand routes opening before us, it is necessary to make a choice, at least provisional; in this choice, what shall guide us?

 

It can only be analogy. But how vague is this word! Primitive man knew only crude analogies, those which strike the senses, those of colours or of sounds. He never would have dreamt of likening light to radiant heat.

What has taught us to know the true, profound analogies, those the eyes do not see but reason divines?

It is the mathematical spirit, which disdains matter to cling only to pure form. This it is which has taught us to give the same name to things differing only in material, to call by the same name, for instance, the multiplication of quaternions and that of whole numbers.

If quaternions, of which I have just spoken, had not been so promptly utilized by the English physicists, many persons would doubtless see in them only a useless fancy, and yet, in teaching us to liken what appearances separate, they would have already rendered us more apt to penetrate the secrets of nature.

 

Such are the services the physicist should expect of analysis; buy for this science to be able to render them, it must be cultivated in the broadest fashion without immediate expectation of utility - the mathematician must have worked as artist.

What we ask of him is to help us to see, to discern our way in the labyrinth which opens before us. Now, he sees best who stands highest. Examples abound, and I limit myself to the most striking.

The first will show us how changing the language suffices to reveal generalizations not before suspected.

 

When Newton's law has been substituted for Kepler's, we still know only elliptic motion. Now, insofar as concerns this motion, the two laws differ only in form; we pass from one to the other by a simple differentiation. And yet from Newton's law may be deduced by an immediate generalization all the effects of perturbations and the whole of celestial mechanics. If on the other hand, Kepler's enunciation had been retained, no one would ever have regarded the orbits of the perturbed planets, those complicated curves of which no one has ever written the equation, as the natural generalizations of the ellipse. The progress of observations would only have served to create belief in chaos.

 

The second example is equally deserving of consideration.

When Maxwell began his work, the laws of electro-dynamics admitted up to his time accounted for all the known facts. It was not a new experiment which came to invalidate them. But in looking at them under a yew bias, Maxwell saw that the equations became more symmetrical when a term was added, and besides, this term was too small to produce effects appreciable with the old methods.

 

You know that Maxwell's à priori views awaited for twenty years an experimental confirmation; or if you prefer, Maxwell was twenty years ahead of experiment. How was this triumph obtained?

It was because Maxwell was profoundly steeped in the sense of mathematical symmetry; would he have been so, if others before him had not studied this symmetry for its own beauty?

It was because Maxwell was accustomed to "think in vectors," and yet it was through the theory of imaginaries (neomonics) that vectors were introduced into analysis. And those who invented imaginaries hardly suspected the advantage which would be obtained from them for the study of the real world; of this the name given them is proof sufficient.

 

In a word, Maxwell was perhaps not an able analyst, but this ability would have been for him only a useless and bothersome baggage. On the other hand, he had in the highest degree the intimate sense of mathematical analogies. Therefore it is that he made good mathematical physics.

 

Maxwell's example teaches us still another thing.

How should the equations of mathematical physics be treated? Should we simply deduce all the consequences, and regard them as intangible realities? Far from it; what they should teach us above all is what can and what should be changed. It is thus that we get from them something useful.

 

The third example goes to show us how we may perceive mathematical analogies between phenomena which have physically no relation either apparent or real, so that the laws of one of these phenomena aid us to divine those of the other.

 

The very same equation, that of Laplace, is met in the theory of Newtonian attraction, in that of the motion of liquids, in that of the electric potential, in that of magnetism, in that of the propagation of heat and in still many others. What is the result? These theories seem images copied one from the other; they are mutually illuminating, borrowing their language from each other; ask electricians if they do not felicitate themselves on having invented the phrase flow of force, suggested by hydrodynamics and the theory of heat.

 

Thus mathematical analogies not only may make us foresee physical analogies, but besides do not cease to be useful when these latter fail.

 

To sum up, the aim of mathematical physics is not only to facilitate for the physicist the numerical calculation of certain constants or the integration of certain differential equations. It is besides, it is above all, to reveal to him the hidden harmony of things in making him see them in a new way

Of all the parts of analysis, the most elevated, the purest, so to speak, will be the most fruitful in the hands of those who know how to use them.

 

 

German translation:

Der Wert der Wissenschaft. Leipzig: Teubner 1906; 3. ed. 1921; Neuauflage Berlin: Xenomos 2003

 

Zweiter Teil, Kapitel V: Analysis und Physik

107-112

 

II.

Der Physiker kann vom Analytiker nicht verlangen, dass er ihm eine neue Wahrheit enthülle; höchstens kann er ihm helfen, sie zu ahnen.

Seit langer Zeit denkt niemand mehr daran, der Erfahrung zuvorzukommen oder die Welt in allen Stücken auf einigen vorschnellen Hypothesen aufbauen zu wollen. Von all den Gebäuden, an denen man noch vor einem Jahrhundert ein naives Gefallen fand, bestehen heute nur noch Ruinen.

 

Alle Gesetze sind aus der Erfahrung gezogen; um sie aber auszudrücken, brauchen wir eine besondere Sprache; unsere gewöhnliche ist zu arm, sie ist auch zu unbestimmt, um so zarte, genaue und inhaltreiche Beziehungen auszudrücken.

 

Dies ist also ein erster Grund, weshalb der Physiker die Mathematik nicht entbehren kann: sie schafft ihm die einzige Sprache, die er sprechen kann. Und eine zweckmässig gebildete Sprache ist nichts Gleichgültiges. Um bei der Physik zu bleiben, so hat der Unbekannte, der das Wort Wärme erfunden hat, ganze Generationen dem Irrtum preisgegeben. Man hat die Wärme als Stoff behandelt, bloss weil sie durch ein Substantiv bezeichnet war, und hat sie für unzerstörbar gehalten.

Hingegen hatte der, der das Wort Elektrizität erfunden hat, das unverdiente Glück, die Physik unbeabsichtigt durch ein neues Gesetz zu bereichern, das der Erhaltung der Elektrizität, das sich durch einen Zufall als richtig erwiesen hat, wenigstens bis jetzt.

 

Um bei dem Vergleich zu bleiben: die Schriftsteller, die die Sprache verschönern, die sie als eine Kunst behandeln, machen daraus gleichzeitig ein Werkzeug, das viel biegsamer und viel geeigneter ist, die Feinheiten des Gedankens wiederzugeben.

Es ist also verständlich, wie der Analytiker, der ein rein ästhetisches Ziel verfolgt, gerade hierdurch dazu beiträgt, eine Sprache zu schaffen, die geeigneter ist, den Physiker zu befriedigen.

 

Aber das ist nicht alles; das Gesetz geht aus der Erfahrung hervor, aber es geht nicht unmittelbar daraus hervor. Die Erfahrung ist persönlich, das daraus entnommene Gesetz ist allgemein; die Erfahrung ist nur annähernd, das Gesetz ist genau oder trachtet wenigstens danach, es zu sein. Die Erfahrung vollzieht sich immer unter verwickelten Umständen; der Wortlaut des Gesetzes schafft diese Verwickelungen weg. Man nennt das „die systematischen Fehler verbessern“.

Mit einem Wort, um aus der Erfahrung das Gesetz zu entnehmen, muss man verallgemeinern; das ist eine Notwendigkeit, die sich dem allerbedächtigsten Beobachter aufdrängt.

 

Wie aber verallgemeinern? Jede einzelne Wahrheit kann ersichtlich auf unendlich viele verschiedene Arten ausgedehnt werden; man muss eine Wahl treffen, wenigstens vorläufig. Was wird uns bei dieser Wahl leiten?

Das kann nur die Analogie. Aber wie unbestimmt ist dieses Wort! Der natürliche Mensch kennt nur die groben Analogien, die den Sinnen auffallen, die der Farben und der Töne. Er würde nicht darauf gekommen sein, zum Beispiel das Licht und die strahlende Wärme miteinander in Verbindung zu bringen.

 

Wer hat uns die wirklichen, tiefen Analogien kennen gelehrt, die die Augen nicht sehen, die der Verstand ahnt?

Es ist der mathematische Geist, der die Materie verschmäht, um sich an die reine Form zu halten. Er ist es, der uns lehrt, Dinge mit dem gleichen Namen zu nennen, die sich nur durch den Stoff unterscheiden, zum Beispiel die Multiplikation der Quaternionen und die der ganzen Zahlen.

Wären die soeben erwähnten Quaternionen von den englischen Physikern nicht so unmittelbar angewendet worden, so würden viele nur eine müssige Träumerei darin sehen, und doch hätten sie uns, indem sie uns lehrten, zusammenzubringen, was der Anschein trennt, schon fähiger gemacht, in die Geheimnisse der Natur einzudringen.

 

Das sind die Dienste, die der Physiker von der Analysis zu erwarten hat; damit diese Wissenschaft sie ihm aber leisten kann, muss sie im allerweitesten Sinne gepflegt werden, ohne Rücksicht auf den unmittelbaren Nutzen. Der Mathematiker muss als Künstler arbeiten.

Was wir von ihm verlangen, ist, dass er uns hilft, zu sehen, unseren Weg zu erkennen in dem Labyrinth, das sich vor uns auftut. Denn der sieht am besten, der sich am höchsten erhoben hat.

 

Es fehlt nicht an Beispielen, und ich beschränke mich auf die schlagendsten.

 

Das erste zeigt uns, wie es genügt, die Sprache zu wechseln, um Verallgemeinerungen zu entdecken, die man vorher nicht vermutete.

Als das Newtonsche Gesetz an die Stelle des Kepplerschen trat, kannte man nur die elliptischen Bewegungen. Aber was diese Bewegungen betrifft, unterscheiden sich die beiden Gesetze nur durch die Form; man gelangt vom einen zum anderen durch eine einfache Differentiation.

Und doch kann man nach dem Newtonschen Gesetz durch eine unmittelbare Verallgemeinerung alle Wirkungen der Störungen und die ganze Himmelsmechanik ableiten. Niemals dagegen würde man, wenn man den Kepplerschen Wortlaut beibehalten hätte, die Bahnen der gestörten Planeten, diese komplizierten Kurven, deren Formeln nie ein Mensch aufgeschrieben hat, als natürliche Verallgemeinerung der Ellipse betrachtet haben. Die Fortschritte der Beobachtungen würden nur dazu geführt haben, an das Chaos zu glauben.

 

Das zweite Beispiel verdient gleichfalls, überdacht zu werden.

Als Maxwell seine Arbeiten anfing, gaben die Gesetze der Elektrodynamik, die bis dahin angenommen waren, von allen bekannten Tatsachen Rechenschaft. Es war keine neue Erfahrung, die sie entkräftet hat.

Indem Maxwell sie aber unter einem neuen Gesichtspunkt betrachtete, erkannte er, dass die Gleichungen symmetrischer wurden, wenn man ein Glied hinzufügt, und andererseits war dieses Glied zu klein, um Wirkungen hervorzubringen, die mit den alten Methoden nachweisbar waren,

Es ist bekannt, dass die Anschauungen á priori von Maxwell zwanzig Jahre auf eine experimentelle Bestätigung warten mussten, oder, mit anderen Worten, Maxwell ist der Erfahrung um zwanzig Jahre zuvorgekommen.

 

Wie wurde dieser Triumph erreicht? Das geschah, weil Maxwell von dem Gefühl der mathematischen Symmetrie tief durchdrungen war. Wäre das möglich gewesen, wenn nicht andere vor ihm diese Symmetrie ihrer eigenen Schönheit halber aufgesucht hätten?

Es geschah, weil Maxwell gewöhnt war „in Vektoren zu denken'°, und die Vektoren wurden in die Analysis eingeführt durch die Theorie der imaginären Zahlen. Und die Erfinder der imaginären Zahlen ahnten kaum den Nutzen, den diese einst dem Studium der wirklichen Welt bringen würden; der Name, den sie ihnen gegeben haben, beweist das ausreichend.

 

Maxwell war vielleicht kein geschickter Analytiker; diese Geschicklichkeit wäre aber für ihn nichts gewesen als ein unnötiger und störender Ballast. Dagegen hatte er im höchsten Grade den feinen Sinn für die mathematischen Analogien. Darum konnte er in der mathematischen Physik Gutes leisten.

 

Das Beispiel von Maxwell lehrt uns noch etwas anderes.

Wie muss man die mathematisch-physikalischen Gleichungen behandeln? Brauchen wir nur alle Folgerungen daraus zu ziehen υηd sie als unanfechtbare Wahrheiten anzusehen? Durchaus nicht; sie sollen uns vor allem lehren, was man daran ändern kann oder muss. So können wir ihnen etwas Nützliches entnehmen.

 

Das dritte Beispiel wird uns zeigen, wie wie mathematische Analogien zwischen zwei Erscheinungen auffinden können, die physikalisch gar keine Beziehungen haben, weder scheinbar noch wirklich, und zwar so, dass uns die Gesetze der einen dieser Erscheinungen die der anderen erraten helfen.

 

Ein und dieselbe Gleichung, die von Laplace, findet man in der Newtonschen Theorie der Anziehung, in der Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten, in der des elektrischen Potentials, in der des Magnetismus, in der der Wärmeleitung und noch in vielen anderen.

Was ergibt sich daraus? Diese Theorien gleichen Bildern, von denen eins vom anderen abgepaust ist; sie erklären sich gegenseitig, indem sie einander ihre Sprache leihen; man braucht nur den Elektriker zu fragen, ob er sich nicht glücklich schätzt, den Ausdruck „Kräftefluss“ erfunden zu haben, der ihm durch die Hydrodynamik und durch die Wärmetheorie eingegeben worden ist.

 

So können uns die mathematischen Analogien nicht nur die physikalischen Analogien voraussehen lassen, sondern sie hören auch dann nicht auf von Nutzen zu sein, wenn diese letzteren nicht mehr vorhanden sind.

 

Kurz, die mathematische Physik soll nicht nur dem Physiker die numerische Berechnung gewisser Konstanten oder die Integration gewisser Differentialgleichungen erleichtern; sie soll ihm vielmehr helfen, die verborgene Harmonie der Dinge zu erkennen und unter einem neuen Gesichtspunkt zu betrachten.

 

Unter allen Teilen der Analysis sind es die höchsten, die reinsten sozusagen, die am ergiebigsten sind unter den Händen derer, die sich ihrer zu bedienen wissen.